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函数与基本初等函数之一次函数二次函数

 3.一次函数、二次函数

?课标解读:

  内容标准:掌握一次、二次函数的性质,学会用配方法研究二次函数的性质;掌握用待定系数法求函数的解析式。

  行为目标:1. 以一次、二次函数为载体学习研究函数性质的一般方法;

            2.掌握配方法、待定系数法以及数形结合的思想方法;

?考纲精析:考纲要求:了解一次二次函数的概念;结合二次函数的图像,了解它们的变化情况。

            命题热点:以二次函数为载体,考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点。

?学情分析:重点:用配方法研究二次函数的性质和图像;

            难点:通过配方式研究二次函数的性质和图像;

            关键:数形结合;

?高考真题:

1.(2010辽宁文数)已知 ,函数 ,若 满足关于 的方程 ,则下列选项的命题中为假命题的是

(A)         (B)        

(C)         (D) 

解析:选C.函数 的最小值是 

等价于 ,所以命题 错误.

2.(2010安徽文数)设 ,二次函数 的图像可能是

.D

【解析】当 时, 、 同号,(C)(D)两图中 ,故 ,选项(D)符合

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分 或 两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.

3.(2010四川理数)函数f(x)=x2+mx+1的图像关于直线x=1对称的充要条件是

(A)         (B)          (C)           (D) 

解析:函数f(x)=x2+mx+1的对称轴为x=-  w_w_w.k*s 5*u.c o*m

    于是- =1  ?  m=-2

答案:A

?基础过关

1.若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a等于(  )

A.-2                     B.-1 

C.1                       D.2

解析:选C.∵y=(x+1)(x-a)=x2+(1-a)x-a是偶函数

∴1-a=0,∴a=1,故选C.

2.若f(x)=x2-ax+1有负值,则实数a的取值范围是(  )

A.a>2或a<-2            B.-2<a<2

C.a≠±2                  D.1<a<3

解析:选A.f(x)有负值,则必须满足f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,其充要条件是:Δ=(-a)2-4>0,a2>4即a>2或a<-2.

3.若f(x)=x2-x+a,f(-m)<0,则f(m+1)的值为(  )

A.正数                   B.负数

C.非负数                 D.与m有关

解析:选B.法一:∵f(x)=x2-x+a的对称轴为x=12,

而-m,m+1关于12对称,

∴f(m+1)=f(-m)<0,故选B.

法二:∵f(-m)<0,∴m2+m+a<0,

∴f(m+1)=(m+1)2-(m+1)+a=m2+m+a<0.故选B.

4.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象是(  )

解析:选D.∵a>b>c,且a+b+c=0,得a>0,c<0(用反证法可得),∴f(0)=c<0,∴只能是D.

5.已知函数f(x)=x2+ax+b,且f(x+2)是偶函数,则f(1),f(52),f(72)的大小关系是(  )

A.f(52)<f(1)<f(72)           B.f(1)<f(72)<f(52)

C.f(72)<f(1)<f(52)           D.f(72) <f(52)<f(1)

解析:选A.由f(x+2)是偶函数可知函数f(x)=x2+ax+b关于直线x=2对称,所以f(1)=f(3),又该函数图象开口向上,当x>2时单调递增,故f(52)<f(3)=f(1)<f(72),故答案为A.

6.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别为a m(0<a<12)、4 m,不考虑树的粗细.现在想用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2,S的最大值为f(a),若将这颗树围在花圃内,则函数u=f(a)的图象大致是(  )

[来源:学科网ZXXK]

解析:选C.据题意设BC=x,则DC=16-x,要使树围在花圃内,需x≥a16-x≥4?a≤x≤12,此时花圃的面积f(x)=x(16-x)=-(x-8)2+64(a≤x≤12),当8<a<12时,有f(a)=-a2+16a,当0<a≤8时有f(a)=f(8)=64,综上所述可得:f(a)=-a2+16a,8<a<1264,0<a≤8,作出图形易知C选项正确.

7.已 知函数f (x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[ 1,b],则b=________.

解析:∵f(x)=(x-1)2+1,∴f(x)在[1,b]上是增函数,

f(x)max=f(b),∴f(b)=b,∴b2-2b+2=b,

∴b2-3b+2=0,∴b=2或1(舍).

答案:2

8.方程x2-mx+1=0的两根为α、β,且α>0,1<β<2,则实数m的取值范围是________.[来源:学.科.网Z.X.X.K]

解析:∵α+β=m,α?β=1,∴m=β+1β,∵β∈(1,2)且函数m=β+1β在(1,2)上是增函数,∴1+1<m<2+12,即m∈(2,52).

答案:(2,52)

9.已知定义在区间[0,3]上的函数f(x)=kx2-2kx的最大值为3,那么实数k的取值范围为________. 

解析:∵f(x)=k(x-1)2-k,

(1)当k>0时,二次函数图象开口向上,当x=3时,f(x)有最大值,f(3)=k?32-2k×3=3k=3?k=1;

(2)当k<0时,二次函数图象开口向下,当x=1时,f(x)有最大值,f(1)=k-2k=-k=3?k=-3.

(3)当k=0时,显然不成立.

故k的取值集合为{1,-3}.

答案:{1,-3}

10.求下列二次函数的解析式:

(1)图象顶点坐标为(2,-1),与y轴交点坐标为(0,11);

(2)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,且f(x+1)-f(x)=2x.

解:(1)法一:(一般式)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

由题意,得 -b2a=2,4ac-b24a=-1,11=c,解得a=3,b=-12,c=11,

所以y=3x2-12x+11.

法二:(顶点 式)设y= a(x-2)2-1.

将(0,11)代入可得:11=4a-1,于是a=3,

所以y=3(x-2)2-1=3x2-12x+11.

(2)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

由f(0)=1,可知c=1.

而f(x+1)-f(x)=[a(x+ 1)2+b(x+1)+c]-(ax2+bx+c)=2ax+a+b,

由f(x+1)-f(x)=2x,可得2a=2,a+b=0.

因而a=1,b=-1,[来源:Z§xx§k.Com]

所以f(x)=x2-x+1.

11.已知函数f( x)=x2-4ax+2a+6(a∈R).

(1) 若函数的值域为[0,+∞),求a的值;

(2)若函数值为非负数,求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.

解:(1)∵函数的值域为[0,+∞),

∴Δ=16a2-4(2a+6)=0

?2a2-a-3=0?a=-1或a=32.

(2)∵对一切x∈R函数值均为非负数,

∴Δ=8(2a2-a-3)≤0?-1≤a≤32,

∴a+3>0,

∵f(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2

=-a+322+174a∈-1,32,

∴二次函数f(a)在-1,32上单调递减.

∴f32≤f(a)≤f(-1),即-194≤f(a)≤4,

∴f(a)的值域为-194,4.

12.已知函数f(x)=ax2+2x+c(a、c∈N*)满足:①f(1)=5;② 6 <f(2)<11.

(1)求a、c的值;

(2)若对任意的实数x∈[12,32],都有f(x)-2mx≤1成立,求实数m的取值范围.

解:(1)∵f(1)=a+2+c=5,

∴c=3-a.①

又∵6<f(2)<11,即6<4a+c+4<11,②

将①式代入②式,得-13<a<43,[来源:Z&xx&k.Com]

又∵a、c∈N*,∴a=1,c=2.

(2)由(1)知f(x)=x2+2x+2.

法一:设g(x)=f(x)-2mx=x2+2(1-m)x+2.

①当-2(1-m)2≤1,即m≤2时,

g(x)max=g(32)=294-3m,

故只需294-3m≤1,

解得m≥2512,又∵m≤2,故无解.

②当-2(1-m)2>1,即m>2时,

g(x)max=g(12)=134-m,

故只需134-m≤1,

解得m≥94.

又∵m>2,∴m≥94.

综上可知,m的取值范围是m≥94.

法二:∵x∈[12,32],[来源:学,科,网]

∴不等式f(x)-2mx≤1恒成立?2(1-m)≤-(x+1x)在[12,32]上恒成立.

易知[-(x+1x)]min= -52,

故只需2(1-m)≤-52即可.

解得m≥94.

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